Methodological
proposal for the solution of polynomial equations in the field of complex
numbers
Rómel
Manolo Insuasti Castelo. [1] &=
amp;
Javier Roberto Mendoza Castillo. [2]
Recib=
ido:
27-06-2021 / Revisado: 05-07-2021 /Aceptado: 24-07-2021/ Publicado: 05-08-2=
021
Resumen.
Palabras claves: Metodologia, solución ecuaciones polinómicas, métodos
numéricos.
Intro=
ducción.
La solución de ecuaci=
ones
polinómicas como un proceso intermedio en la solución de problemas técnicos
reales, reviste el encontrar las raíces, estas dependiendo del polinomio pu=
eden
ser reales o complejas, existen algunas aplicaciones en las cuales son
necesarias únicamente la raíces reales, pero en otras ocasiones como al
resolver ecuaciones diferenciales es necesario encontrar todas la raíces re=
ales
y complejas pues estas son partes de la solución de la ecuación diferencial=
, en
términos generales cuando es necesario encontrar todas la raíces del polino=
mio,
en ocasiones se dificulta por que los procesos o la metodología de solución
implica la experiencia del que resuelve la ecuación, esto debido a que se t=
iene
que resolver por métodos convencionales como el de factorización, Ruffini e=
ntre
otros, los cuales en ocasiones no son tan fáciles para encontrar las
soluciones. Por esta razón en este estudio se pretende generalizar la
resolución de una ecuación polinómica de grado n, con la ayuda de métodos
numéricos y de conceptualizaciones relacionadas para de esta manera simplif=
icar
el grado de la ecuación e ir reduciéndola hasta encontrar todas las raíces =
sean
reales o complejas.
Metodologia.
La metodología a ser
utilizada en este estudio está basada en métodos numéricos con un tratamien=
to
general de números complejos, lo cual permite encontrar raíces de valores
reales como complejos.
Una ecuación polinómi=
ca
de grado n, tiene la forma general.
Donde:
Otra forma de determi=
nar
una ecuación polinómica es:
Donde
Se conoce que las raí=
ces
de una ecuación son los valores que al evaluar en la ecuación cumplen con la
igualdad.
Se entiende que el nú=
mero
de raíces de dicha ecuación es igual al grado de la ecuación polinómica,
teniendo en cuenta que estas raíces pueden ser reales y complejas. Autores
como: Ochoviet C., Martínez G., Galán N., Bagni, G. Randolph, V, Macías D., concuerdan que en
determinados problemas solo es necesario determinar las raíces reales e inc=
luso
se pueden considerar únicamente las raíces positivas, pero lo que nos ocupa=
es
determinar todas las raíces pues algunos procesos así lo requieren.
Por lo tanto, en forma
general las raíces tendrán la forma de un número complejo:
Donde
Se debe aclarar que l=
as
raíces presentes en este tipo de ecuaciones dependiendo el grado del polino=
mio
se puede tener varias posibilidades en relación a que las raíces pueden ser
reales y/o complejas, como se detalla en la siguiente tabla:
Tabla
1.
Referencias de raíces de acuerdo con el grado de polinomio
|
Grado de la ecuación |
Raíces reales |
Raíces imaginarias |
|
1 |
1 |
|
|
2 |
2 |
0 |
|
0 |
2 |
|
|
3 |
3 |
0 |
|
1 |
2 |
|
|
4 |
4 |
0 |
|
2 |
2 |
|
|
0 |
4 |
|
|
5 |
5 |
0 |
|
3 |
2 |
|
|
1 |
4 |
En términos generales
podemos decir que las raíces complejas siempre se las calcula por pares y s=
on
de la forma
La solución de la
ecuación polinómica se la puede resolver por factorización, lo cual resulta
difícil en un polinomio de grado n, la otra opción es utilizar Ruffini para
determinar la raíz, pero también resulta difícil ubicar la raíz, pues se ti=
ene
un sin número de valores a evaluar. Más aun cuando las raíces son imaginari=
as.
Por lo tanto, se hace necesario un procedimiento para resolver este tipo de
ecuaciones definiendo en forma ordenada como proceder para obtener resultado
óptimo y en corto tiempo.
Análisis
y Propuesta
El objetivo de resolv=
er
una ecuación polinómica es la de encontrar las raíces, dependiendo de grado=
de
la ecuación tenemos claro cuantas soluciones debemos encontrar, algo de lo =
que
se puede estar seguro es que si el grado del polinomio es impar existe por =
lo
menos un raíz real, lo cual guiara el procedimiento a seguir, si el grado es
par habrá que probar si las raíces son reales o complejas, si en el proceso=
se
encuentra una raíz real, esto impl=
ica
que debe existir por lo menos una raíz más real.
Como hemos indicado la
ecuación polinómica tiene la forma siguiente
Donde:
Se propone resolver p=
or
el método numérico de Newton Rampson el cual nos da una rápida convergencia
tanto para raíces reales como complejas. Por lo que es necesario introducir=
la
metodología para utilizar dicho método. Se debe aclarar que este método sir=
ve
para resolver cualquier tipo de ecuación principalmente las no lineales, por
esta razón podemos aplicar en las ecuaciones polinómicas.
En general si
consideramos al polinomio como una
En donde
Gráfico
1.
Función y su pendiente
Fuente: Elaboración propia
Al ser un método numé=
rico
el valor calculado
En el momento que enc=
ontramos
una raíz real, debemos reducir el grado de la ecuación polinómica en un gra=
do
dividiendo la ecuación polinómica por el factor que corresponde a la raíz, =
de
la siguiente manera:
Raíz real:
La división a realizar
será:
El resultado de esta
división nos dará como resultado un polinomio de grado n-1, el cual nuevame=
nte
entrará a ser evaluado para encontrar una nueva raíz iniciando el método
numérico para el nuevo polinomio.
El proceso se repetirá
hasta encontrar todas las raíces reales, pero si estas dejan de existir
entonces habrá que evaluar para valores complejos es decir de la forma
Sea también un número
complejo. Al encontrar una raíz compleja se entiende que tiene una raíz que=
es
conjugada de esta, por lo que se puede calcular el polinomio restante si se
divide el polinomio para el valor que corresponde al resultado del producto=
de
las dos raíces complejas:
Reduciéndose el polin=
omio
en dos grados, para continuar con la siguiente aproximación a la raíz.
Resultados.
Se resuelve un polino=
mio
de grado 5 de forma ilustrativa para reforzar la aplicación del método de
cálculo.
Su derivada es:
Al ser un polinomio de
grado impar, existe una raíz real, por lo tanto, encontramos esta raíz dand=
o el
valor de
Tabla
2.
Valores de primera aproximación
|
<=
span
style=3D'font-size:11.0pt;line-height:115%;font-family:"Calibri",sans-ser=
if;
mso-ascii-theme-font:minor-latin;mso-fareast-font-family:"Times New Roman=
";
mso-fareast-theme-font:minor-fareast;mso-hansi-theme-font:minor-latin;
mso-bidi-font-family:"Times New Roman";mso-bidi-theme-font:minor-bidi;
mso-ansi-language:ES;mso-fareast-language:ES;mso-bidi-language:AR-SA'> |
|
|
<=
span
style=3D'font-size:11.0pt;line-height:115%;font-family:"Calibri",sans-ser=
if;
mso-ascii-theme-font:minor-latin;mso-fareast-font-family:"Times New Roman=
";
mso-fareast-theme-font:minor-fareast;mso-hansi-theme-font:minor-latin;
mso-bidi-font-family:"Times New Roman";mso-bidi-theme-font:minor-bidi;
mso-ansi-language:ES;mso-fareast-language:ES;mso-bidi-language:AR-SA'> |
|
-2 |
93 |
-252 |
-1.63095238 |
|
-1.63095238 |
27.14143823 |
-117.01071525 |
-1.39899552 |
|
-1.39899552 |
6.48025769 |
-64.64063384 |
-1.29874499 |
|
-1.29874499 |
0.86079330 |
-48.00633413 |
-1.28081416 |
|
-1.28081416 |
0.02384778 |
-45.36235348 |
-1.28028845 |
Fuente: Elaboración propia
Se acepta como raíz el ultimo valor de
Este Polinomio entra
nuevamente a ser calculado pero esta vez lo hacemos con un valor inicial
complejo el cual se recomienda sea
Su derivada es:
Tabla
3.
Valores de aproximación 1 + i
|
<=
span
style=3D'font-size:11.0pt;line-height:115%;font-family:"Calibri",sans-ser=
if;
mso-ascii-theme-font:minor-latin;mso-fareast-font-family:"Times New Roman=
";
mso-fareast-theme-font:minor-fareast;mso-hansi-theme-font:minor-latin;
mso-bidi-font-family:"Times New Roman";mso-bidi-theme-font:minor-bidi;
mso-ansi-language:ES;mso-fareast-language:ES;mso-bidi-language:AR-SA'> |
|
|
<=
span
style=3D'font-size:11.0pt;line-height:115%;font-family:"Calibri",sans-ser=
if;
mso-ascii-theme-font:minor-latin;mso-fareast-font-family:"Times New Roman=
";
mso-fareast-theme-font:minor-fareast;mso-hansi-theme-font:minor-latin;
mso-bidi-font-family:"Times New Roman";mso-bidi-theme-font:minor-bidi;
mso-ansi-language:ES;mso-fareast-language:ES;mso-bidi-language:AR-SA'> |
|
1+i |
-1.1939+2.2778i |
7.1566+1.1254i |
1.113956+0.663800i |
|
1.113956+0.663800i |
-1.135799+0.281915i |
3.377852-3.537479i |
1.316009+0.791941i |
|
1.316009+0.791941i |
0.448700-0.159849i |
6.029061-7.031758i |
1.271383+0.766406i |
|
1.271383+0.766406i |
0.026825-0.013818i |
5.398141-6.066257i |
1.267915+0.765070i |
|
1.267915+0.765070i |
0.000106-0.000101i |
5.36469287-5.995046i |
1.267897+0.765069i |
F=
uente:
Elaboración propia
La raíz hallada es
Finalmente, para este
caso tendríamos que resolver la función
Su derivada es:
Tabla
4.
Valores de aproximación final
|
<=
span
style=3D'font-size:11.0pt;line-height:115%;font-family:"Calibri",sans-ser=
if;
mso-ascii-theme-font:minor-latin;mso-fareast-font-family:"Times New Roman=
";
mso-fareast-theme-font:minor-fareast;mso-hansi-theme-font:minor-latin;
mso-bidi-font-family:"Times New Roman";mso-bidi-theme-font:minor-bidi;
mso-ansi-language:ES;mso-fareast-language:ES;mso-bidi-language:AR-SA'> |
|
|
<=
span
style=3D'font-size:11.0pt;line-height:115%;font-family:"Calibri",sans-ser=
if;
mso-ascii-theme-font:minor-latin;mso-fareast-font-family:"Times New Roman=
";
mso-fareast-theme-font:minor-fareast;mso-hansi-theme-font:minor-latin;
mso-bidi-font-family:"Times New Roman";mso-bidi-theme-font:minor-bidi;
mso-ansi-language:ES;mso-fareast-language:ES;mso-bidi-language:AR-SA'> |
|
1+i |
-2.0043-3.511i |
-3.511-4i |
0.255798+0.847852i |
|
0.255798+0.847852i |
-1.061375-0.452916i |
-0.534192-3.391407i |
0.077381+1.132709i |
|
0.077381+1.132709i |
0.098622+0.203293i |
0.179475-4.530835i |
0.121319+1.109201i |
|
0.121319+1.109201i |
-0.002756+0.004131i |
0.003725-4.436806i |
0.122251+1.109822i |
|
0.122251+1.109822i |
-9.664E-07-2.312E-06i |
-2.083E-06-4.439287i |
0.122250+1.109822i |
F=
uente:
Elaboración propia
La raíz hallada es
Conclusiones.
ˇ =
La
aplicación de la metodología propuesta permite calcular las raíces de
polinomios de grado n en forma precisa, ya sean raíces reales o raíces
complejas, si las raíces son complejas estas vienen en pares, ya que estas =
son
conjugadas, razón por la cual se las debe considerar en el procedimiento de
solución.
ˇ =
Para
calcular raíces reales el valor inicial debe ser un número real, el cual
dependiendo de la cercanía de la raíz convergerá más rápidamente y para raí=
ces
complejas el valor inicial debe ser un número complejo el cual se recomienda
que se 1+i.
ˇ =
El
procedimiento empleado se basa en las operaciones de números complejos, pue=
s es
necesario evaluar las funciones definidas para el polinomio como para su
derivada con números complejos.
ˇ =
Se
debe tener presente el número de raíces a obtener según el polinomio y las
posibles raíces reales y complejas, para ir definiendo el proceso de
evaluación.
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PARA
CITAR EL ARTÍCULO INDEXADO.
Insuasti Castelo, R. =
M.,
& Mendoza Castillo, J. R. (2021). Propuesta metodológica para la soluci=
ón
de ecuaciones polinómicas en el campo de los números complejos.
ConcienciaDigital, 4(3.1), 291-300. https://doi.org/10.33262/concienciadigital.v4i3.1.1830
El artículo que se publica es de
exclusiva responsabilidad de los autores y no necesariamente reflejan el
pensamiento de la Revista Concienc=
ia
Digital.
El artículo qu=
eda
en propiedad de la revista y, por tanto, su publicación parcial y/o total en
otro medio tiene que ser autorizado por el director de la Revista Conciencia Digital.
[1] Escue=
la
Superior Politécnica de Chimborazo, Facultad de Mecánica. Riobamba, Ecuador=
. rinsuasti@espoch.edu.ec,
https://orcid.org/0000-0002-4170-1511
[2] Escuela Superior Politécnica de Chimborazo, Facul=
tad
de Recursos Naturales. Riobamba, Ecuador. jmendoza@espoch.edu.ec, https://o=
rcid.org/0000-0003-3148-0193
www.concienciadigital.org
=
Vol. 4, N°3.1, p. 291-300, agosto, 20